フーリエ変換のself-reciprocal functionの一般論

フーリエ変換の不動点

以下の2つの記事でフーリエ変換のself-reciprocal functionの例を挙げた。

• 正規分布の確率密度関数(ガウス関数)のフーリエ変換
• フーリエ変換のself-reciprocal functionの例

次の2つである。

$$\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

$$\frac{1}{\sqrt{|t|}}$$

これら2つの関数はフーリエ変換で(定数倍を除いて)同じ関数に写される。

このような関数は、フーリエ変換における不動点とみなせ、フーリエ変換におけるself-reciprocal functionというのであった。

このような関数は他にも色々あるのだが、この記事ではこのような関数に関する一般論を述べることにする。

注意事項として、この記事では、(他の記事と異なり)フーリエ変換の定義として次を用いる。

$$\mathcal{F}[f](\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

これは、フーリエ変換の複数の定義の3番目の定義であり、フーリエ変換がユニタリ変換となるようにするために(定数倍を考えないようにするために)こうする。

$$\hat{f}(\omega )=\mathcal{F}[f](\omega )$$

とも書くことにする。

フーリエ変換の繰り返し適用

ある関数$f(t)$にフーリエ変換を繰り返し適用することを考える。

1回のフーリエ変換により、$f(t)$は次のように写される。

$$\mathcal{F}:f(t)\mapsto \hat{f}(\omega )$$

ここで、

$$\mathcal{F}[f](\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

について、$s=-t$で置換積分を行うと、

$$\mathcal{F}[f](\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{s=\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}f(-s)e^{i\omega s}(-ds)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(-s)e^{i\omega s}ds={\mathcal{F}}^{-1}[f(-t)]$$

最後の式変形はフーリエ逆変換である。

このことから、

$${\mathcal{F}}^2[f](t)=f(-t)$$

がわかる。続いて、

$${\mathcal{F}}^3[f](\omega )=\hat{f}(-\omega )$$

であり、

$${\mathcal{F}}^4[f](t)=f(-(-t))=f(t)$$

となり、4回目の適用で元の関数に戻ることがわかる。

このように4回の適用でもとに戻るような操作は数学でよく出てくる。たとえば虚数単位$i$をかけるとか、三角関数を微分するとかである。

図式的にまとめると次のようになる。

話がそれたが、ここで得た重要な式は

$${\mathcal{F}}^4=1$$

特に偶関数に絞って考えれば、

$${\mathcal{F}}^2=1$$

である。

フーリエ変換の固有値

フーリエ変換は線形変換であるから、固有値を考えるのは自然なことである。

$\lambda$をフーリエ変換$\mathcal{F}$の固有値、$f$を$\lambda$に対応する固有ベクトル (この場合、これは実際には関数であるから、固有関数 eigenfunction とも呼ばれる)とすると、 定義により次が成り立つ。

$$\mathcal{F}[f]=\lambda f$$

これを4回繰り返すと、

$${\mathcal{F}}^4[f]={\lambda }^{4}f$$

であるが、一方先程の考察から、

$${\mathcal{F}}^4[f]=1[f]=f$$

よって、

$${\lambda }^4=1$$

したがって、

$$\lambda =1,i,-1,-i$$

あとで例を示すが、$\lambda =1,i,-1,-i$には

$$\mathcal{F}[f]=\lambda f$$

を満たす非零の関数$f$が存在するので、実際に$1,i,-1,-i$は$\mathcal{F}$の固有値である。

そして、これらの固有値に対応する固有空間をそれぞれ、$W_1,W_i,W_{-1},W_{-i}$とすると、これらは直交する。

実際、

$f\in W_a$, $g\in W_b$とすると、パーセバルの定理により

$$f\cdot g=\mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[g]=(af)\cdot (bg)=a\overline{b}(f\cdot g)$$

となるが、$a\ne b$のとき、$a\overline{b}\ne 0$であるから、$f\cdot g=0$が導かれる。

以上の議論により、$f\in L^2(\mathbb{R})$は一意にこれらの固有空間への分解

$$f=f_1+f_i+f_{-1}+f_{-i}$$

を持つことがわかる。この式にフーリエ変換を適用していくことで、次の式を得る。

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& -1& -i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -i& -1& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_1\\ f_i\\ f_{-1}\\ f_{-i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f\\ \mathcal{F}[f]\\ {\mathcal{F}}^2[f]\\ {\mathcal{F}}^3[f]\end{array}\right)$$

これを解くことで、上の$f_1,f_i,f_{-1},f_{-i}$は

$$\left(\begin{array}{c}{f}_1\\ f_i\\ f_{-1}\\ f_{-i}\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -i& -1& i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& i& -1& -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}f\\ \mathcal{F}[f]\\ {\mathcal{F}}^2[f]\\ {\mathcal{F}}^3[f]\end{array}\right)$$

とフーリエ変換の繰り返し適用の線形結合で表せる。

ここで、$f_1$成分は固有空間$W_1$への射影であって、self-reciprocal functionである。

フーリエ変換の固有値$1,i,-1,-i$に対する固有関数の例

固有値$1$に対する固有関数の例

これはself-reciprocal functionそのものであり、既に冒頭に挙げた

$$\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

が典型例である。

周波数領域での微分

フーリエ変換の性質の一つで重要なものに周波数微分公式

$$\mathcal{F}[tf(t)]=i\frac{d\hat{f}(\omega )}{d\omega }$$

がある。これは時間領域で$t$をかけることが、周波数領域では微分となって現れることを主張する。

これは次のように計算することで得られる。

$$\frac{d\hat{f}(\omega )}{d\omega }=\frac{d}{d\omega }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\left(\frac{d}{d\omega }{e}^{-i\omega t}\right)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)(-it{e}^{-i\omega t})dt=-i\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}tf(t)e^{-i\omega t}dt=-i\mathcal{F}[tf(t)]$$

以下ではこの公式を利用して、$t^n\exp [-\frac{t^2}{2}]$のフーリエ変換を計算する。おおむね、これらが固有関数の例を与える。

$t^n\exp [-\frac{t^2}{2}]$のフーリエ変換

$n=1$

$$\mathcal{F}[t\exp [-\frac{t^2}{2}]]=i\frac{d}{d\omega }\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]=-i\omega \exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]$$

$n=2$

$$\mathcal{F}[t^2\exp [-\frac{t^2}{2}]]=i\frac{d}{d\omega }(-i\omega \exp [-\frac{{\omega }^2}{2}])=(1-{\omega }^2)\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]$$

$n=3$

$$\mathcal{F}[t^3\exp [-\frac{t^2}{2}]]=i\frac{d}{d\omega }((1-{\omega }^2)\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}])=i(-3\omega +{\omega }^3)\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]$$

固有値$-i$に対する固有関数の例

上の$n=1$における計算結果から、

$$t\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

は固有値$-i$に対する固有関数となっていることがわかる。

固有値$-1$に対する固有関数の例

上の$n=2$における計算結果を直接利用することはできないが、ほぼ$n=2$のときが答えである。

$$f(t)=(t^2+\alpha )\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

のフーリエ変換を考えると

$$\hat{f}(\omega )=-({\omega }^2-(1+\alpha ))\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]$$

であるから、$\alpha =-(1+\alpha )$となるように$\alpha$をとってやれば、$\hat{f}=-f$となる。

方程式を解けば$\alpha =-\frac{1}{2}$である。よって、

$$f(t)=(t^2-\frac{1}{2})\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

は固有値$-1$に対する固有関数である。

固有値$i$に対する固有関数の例

上の$n=3$における計算結果を直接利用することはできないが、ほぼ$n=3$のときが答えである。

$$f(t)=(t^3+\beta t)\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

のフーリエ変換を考えると

$$\hat{f}(\omega )=i({\omega }^3-(3+\beta )\omega )\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]$$

であるから、$\beta =-(3+\beta )$となるように$\beta$をとってやれば、$\hat{f}=if$となる。

方程式を解けば$\beta =-\frac{3}{2}$である。よって、

$$f(t)=(t^3-\frac{3}{2}t)\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

は固有値$i$に対する固有関数である。