フーリエ変換のself-reciprocal functionの例

命題

関数

$$f(t)=\frac{1}{\sqrt{|t|}}$$

はフーリエ変換のself-reciprocal functionである。

すなわち、フーリエ変換によって同じ関数に写される。

証明

まず、$f(t)$は偶関数であることに注意する。

次の補題を示しておく。

補題

$f(t)$が偶関数のとき、そのフーリエ変換は

$$F(\omega )=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt$$

で与えられる。$F(\omega )$は偶関数である。

補題の証明

フーリエ変換の定義により、

$$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(t)e^{-i\omega t}dt+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

右辺の第1項の積分について、$s=-t$で変数変換すると、

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(t)e^{-i\omega t}dt={\int }_{\mathrm{\infty }}^{0}f(-s)e^{-i\omega (-s)}(-ds)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(s)e^{i\omega s}ds={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{i\omega t}dt$$

よって、

$$F(\omega )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{i\omega t}dt+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)(2\cos (\omega t))dt=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt$$

である。また、この式を使うと、

$$F(-\omega )=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (-\omega t)dt=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt=F(\omega )$$

となり、$F(\omega )$は偶関数であることがわかる。

本題の証明

$f(t)$は偶関数なので、補題をそのまま使用できる。

$F(\omega )$も偶関数となるので、$\omega >0$の範囲でまずは考える。

$$F(\omega )=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{|t|}}\cos (\omega t)dt=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{t}}\cos (\omega t)dt$$

$t=s^2$で置換積分を行うと、

$$F(\omega )=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{s^2}}\cos (\omega s^2)(2sds)=4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{s}\cos (\omega s^2)sds=4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (\omega s^2)ds$$

$u=\sqrt{\omega }s$で置換積分を行うと、

$$F(\omega )=4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (u^2)(\frac{1}{\sqrt{\omega }}du)=\frac{4}{\sqrt{\omega }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (u^2)du$$

右辺はフレネル積分である。結局、

$$F(\omega )=\frac{4}{\sqrt{\omega }}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\sqrt{\frac{2\pi }{\omega }}$$

である。 $\omega <0$の範囲も考えると、

$$F(\omega )=\sqrt{\frac{2\pi }{|\omega |}}$$

となる。これは$\sqrt{2\pi }$の定数倍を除いて、$f(t)$と同じである。

もちろん、フーリエ変換の複数の定義のうち、フーリエ変換がユニタリ変換となるような定義を用いておけば、これは全く同じになる。

したがって、

$$f(t)=\frac{1}{\sqrt{|t|}}$$

は、フーリエ変換のself-reciprocal functionの一例である。

補足

フーリエ変換の結果同じ関数になるものとしては、ガウス関数

$$f(t)=\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

が有名である(正規分布の確率密度関数(ガウス関数)のフーリエ変換)が、他にもそういった関数は多数あり、本題はその一例である。