メリン変換

メリン変換とはなにか?

メリン変換とは、積分変換(integral transform)の一つである。次のように定義される。

$$\hat{f}(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)x^{s-1}dx$$

ここで、$s\in \mathbb{C}$である。

関数の変換であるという意味で、

$$\mathcal{M}:f\mapsto \hat{f}$$

という記法も使われる。

積分変換

次の式を用いた関数の変換を積分変換という。

$$\hat{f}(y)={\int }_a^{b}f(x)K(x,y)dx$$

ここで、$K(x,y)$は核(kernel)と呼ばれる。

積分変換には様々な種類のものがあり、代表的なものとしてはフーリエ変換、ラプラス変換がある。

メリン反転公式 (Mellin inversion formula)

メリン変換の逆変換は、次で与えられる。

$$f(x)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\hat{f}(s)x^{-s}ds$$

ここで $\sigma \in \mathbb{R}$である。

右辺の積分路は、ラプラス逆変換で現れるブロムウィッチ積分と同じ積分路である。

この公式は、フーリエ変換を既知とすれば、次のように得られる。

定義式の積分で、$x=e^u$と変数変換すると、

$$\hat{f}(s)={\int }_{u=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(e^u)e^{u(s-1)}{e}^{u}du={\int }_{u=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(e^u)e^{us}du$$

さらに、

$s=\sigma -it$とおくと、

$$\hat{f}(\sigma -it)={\int }_{u=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(e^u)e^{u(\sigma -it)}du={\int }_{u=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(e^u)e^{\sigma u}{e}^{-itu}du$$

この式で、

$$g(u)=f(e^u)e^{\sigma u}$$

$$G(t)=\hat{f}(\sigma -it)$$

とおけば、$G(t)$は$g(u)$のフーリエ変換である。フーリエ逆変換によって、

$$g(u)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G(t)e^{itu}dt$$

すなわち、

$$f(e^u)e^{\sigma u}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\sigma -it)e^{itu}dt$$

よって、

$$f(e^u)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\sigma -it)e^{itu}{e}^{-\sigma u}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\sigma -it)e^{-u(\sigma -it)}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{s=\sigma +i\mathrm{\infty }}^{\sigma -i\mathrm{\infty }}\hat{f}(s)e^{-us}(-\frac{1}{i}ds)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\hat{f}(s)e^{-us}ds$$

すなわち、

$$f(x)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\hat{f}(s)x^{-s}ds$$

となり、メリン反転公式が得られた。