集合の極限

数列の極限

実数列$\{a_n\}$が、ある実数$\alpha$に収束する、とは次の意味であった。

$$\mathrm{\forall }ϵ>0;\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\text{ s.t. }n>N⟹|a_n-\alpha |<ϵ$$

これから集合列に対する極限を考えていくが、この定義を直接応用するのは難しい。 集合と集合の差が$ϵ$未満とはどういう意味なのかわからないからである。

集合の単調増大列 / 単調減少列の極限

とはいえ、任意の集合列の極限の定義は置いておくにしても、次のような列についての極限を考えるのは比較的容易いだろう。

単調増大列

集合列$\{A_n\}$は任意の$n$に対して、$A_n\subset A_{n+1}$を充たすとする。すなわち、 $$A_1\subset A_2\subset A_3\subset A_4\subset \dots$$ このとき、集合列$\{A_n\}$は単調増大列であるという。

このとき、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$$

と定める。

右辺にも$\mathrm{\infty }$が出てきていて、どういう定義なのかわかりづらいが、右辺の意味は「少なくとも一つの$n$があって、$A_n$の元となるような要素をすべて集めたもの」であり、実は極限的な意味は何もない。

きちんと記号でかけば、

$$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=\{x|\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N};x\in A_n\}$$

ということであり、任意の集合列に対して定義できるものである。

単調減少列

集合列$\{A_n\}$は任意の$n$に対して、$A_n\supset A_{n+1}$を充たすとする。すなわち、 $$A_1\supset A_2\supset A_3\supset A_4\supset \dots$$ このとき、集合列$\{A_n\}$は単調減少列であるという。

このとき、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$$

と定める。

右辺の意味は「すべての$A_n$の元となるような要素をすべて集めたもの」である。

きちんと記号でかけば、

$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=\{x|\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N};x\in A_n\}$$

ということであり、任意の集合列に対して定義できるものである。

数列の単調列

ここで証明はしないが、次の定理がある。

1. 実数列の単調増大列は、有界ならその上限に収束し、非有界なら$\mathrm{\infty }$に発散する。
2. 実数列の単調減少列は、有界ならその下限に収束し、非有界なら$-\mathrm{\infty }$に発散する。

この定理と、上で定義した集合の単調列の極限の定義を比較すると、$\bigcup$は上限のようなもの、$\bigcap$は下限のようなものであると類推できる。

単調列以外の集合列の極限を定義するにあたっては、こういった概念を敷衍すればよいわけである。

数列の上極限・下極限

そこで、次のような概念を思い出す。

数列$\{a_n\}$に対して、その上極限を次で定める。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$$

下極限を次で定める。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$$

上極限・下極限は、任意の数列に対して定義できるという、強い性質を持つ。

また、次の定理がある。

実数列の上極限と下極限が一致するなら、実数列は極限($\mathrm{\infty }$、$-\mathrm{\infty }$を含む)を持つ。極限の値は上極限(=下極限)と一致する。逆に、実数列が極限を持つならば、上極限と下極限は極限に一致する。

この定理を利用すると、単調でない集合列にも極限が定義できるだろう。

上極限・下極限は、上限・下限さえ知っていれば定義でき、先の考察で $\bigcup$が上限のようなもの、$\bigcap$が下限のようなものであるということは分かっているからである。

集合列の上極限・下極限・極限

集合列$\{A_n\}$に対して、その上極限、下極限を次のように定める。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$$

もし、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{A}_n$$

が成り立つなら、これを集合列$\{A_n\}$の極限といい、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n$$

で表す。

集合列の極限が存在しない例

上で集合列の極限は定義されたが、イメージがつかみにくいかもしれないので例を挙げる。

実はこの例では、極限が存在しないことが示されてしまうのだが、エッジケースであり、イメージを掴むのには十分であると思う。

集合列$\{X_n\}$を次で定める。

$$X_n=\{x\in \mathbb{R}|-1-\frac{(-1{)}^n}{n}\le x\le 1+\frac{(-1{)}^n}{n}\}$$

最初の4項を示すと、以下の通りである。

$$X_1=[0,0]$$

$$X_2=[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}]$$

$$X_3=[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}]$$

$$X_4=[-\frac{5}{4},\frac{5}{4}]$$

グラフにすると、以下の通りである。

グラフからは、$\{X_n\}$は単調でないが、ゆっくりと$[-1,1]$に収束していくように見える。

しかし、定義に従って正確に議論すると、実は違うことがわかる。

それを以下で示そう。

$n$が偶数のとき、$\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{X}_k=X_n$となる。

これは、$\{X_n\}$の偶数番目だけを取った部分列が単調減少列であり、$X_{2n}\supset [-1,1]\supset X_{2m+1}$が任意の$n,m$に対して成立することからわかる。

同様の考察で、

$n$が奇数のとき、 $\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{X}_k=X_{n+1}$

$n$が偶数のとき、$\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{X}_k=X_{n+1}$

$n$が奇数のとき、$\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{X}_k=X_n$

がわかる。したがって、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{X}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_{2n}=[-1,1]$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{X}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_{2n+1}=(-1,1)$$

ゆえに、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{X}_n\ne \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{X}_n$$

であり、極限は存在しないことがわかる。

大変惜しい。

集合列の極限が存在する例

上の例を少し変形して、

$$X_n=\{x\in \mathbb{R}|-1-\frac{(-1{)}^n}{n}\le x\le 1+\frac{(-1{)}^n}{n}\}-\{-1,1\}$$

などとすると、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{X}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{X}_n=(-1,1)$$

となり、極限が定義できるようになる。

ただ、これは些か不便であり、位相を仮定せず一般の集合列に対して、極限を定義した点に問題があると思う。

たとえば、位相空間の部分集合列で、上極限と下極限が集積点の違いを除いて一致するなら、その間の何かや、閉包、開核を以て「極限のようなもの」を定義しても良いとは思う。

ただし、多くの文献で、集合列の極限は測度論の文脈で語られているため、こういった点に言及しているものはなく、一般的なアイデアではないかもしれない。

位相空間については、部分集合列の極限を考えるよりも、点列の極限を考えることができれば、それで十分という場合が多いのかもしれない。

集合列の上極限・下極限の言い換え

まだイメージが掴みづらい読者のために、より簡潔な言い換えを紹介しておく。

「$x$が集合列$\{A_n\}$の上極限に含まれる」とは、$|\{A_n|x\in A_n\}|={\mathrm{\aleph }}_0$の意味である。

「$x$が集合列$\{A_n\}$の下極限に含まれる」とは、$|\{A_n|x\notin A_n\}|<{\mathrm{\aleph }}_0$の意味である。

この言い換えから明らかなように、下極限は必ず上極限の部分集合になる。

集合列に極限が存在するのは、「$x$を含む項が無限に存在するなら、$x$を含まないような項は高々有限個になる」という条件が成り立つ場合である。

またいいかえれば、「任意の$x$に対して、$x$を含む項が無限個ある、または、$x$を含まない項が無限個ある、のいずれか一方のみが成り立つ」ような場合である。

一般的な集合列の極限の定義が、単調列の場合の定義とcompatibleであることの証明

まず集合列が単調列の場合に極限を定義し、次に一般的な場合を考えた。

これらの定義が一致することの証明をここで与える。

集合列$\{A_n\}$は単調増大列とする。

このとき、任意の$n$について

$$\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$$

がわかる。実際、

$$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k=(\bigcup _{k=1}^n{A}_k)\cup (\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k)=A_n\cup (\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k)=\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$$

したがって、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$$

また、単調増大性から、

$$\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k=A_n$$

であり、ゆえに

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$$

がわかる。

よって、上極限と下極限が一致するため、一般的な定義においても極限が存在し、それは 単調増大列に対して定義した極限$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$と一致する。

単調減少列に対する極限も、同様の議論で一致することがわかる。