確率の定義

March 8, 2021

確率の定義をする。

可測空間 / σ代数

$Ω$ を集合とする。

$B \subset 2^{Ω}$ は $Ω$ の部分集合族で、次を充たすとする。

$Ω \in B$

$A \in B ⟹ A^{c} \in B$

$A_{1} \in B \land A_{2} \in B \land \dots ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in B$

このとき、 $B$ は $Ω$ 上σ加法的(σ-additive)である、または、 $B$ は $Ω$ 上のσ代数(σ-algebra)であるという。

組 $(Ω, B)$ を可測空間(measurable space)というが、 $B$ が文脈上明らかなときは、単に $Ω$ を可測空間ともいう。

$(Ω, B)$ が可測空間であるとき、定義より、次は直ちに従う。

$\emptyset \in B$

$A_{1} \in B \land A_{2} \in B \land \dots ⟹ ⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in B$

1つ目は、 $A = Ω$ に対して補集合をとることで得られ、2つ目は、 $(⋃ A_{i}^{c})^{c}$ に対して、ド・モルガンの法則を用いることで得られる。

以上より、σ代数を端的に表現すると、次のようになる。

σ代数は、ある集合の部分集合族であり、空集合と基の集合そのものを含み、可算個の交叉(intersection)、可算個の合併(union)、そして、補集合(complement)を取る操作に対して閉じている。

$(Ω, B)$ を可測空間とする。 $B$ 上の実数値関数 $P : B \to R$ が次を充たすとき、 $P$ を確率(probability)という。

$\forall A \in B; P (A) \geq 0$

$P (Ω) = 1$

$P (⨆_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i})$

$⨆$ は非交和(disjoint union)の意味である。

組 $(Ω, B, P)$ を確率空間という。

この文脈では、 $Ω$ は標本空間、 $B$ の元は事象と呼ばれる。

定義より、次は直ちに導ける。

$P (A^{c}) = 1 - P (A)$

$A \subset B ⟹ P (A) \leq P (B)$

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$1 = P (Ω) = P (A ⊔ A^{c}) = P (A) + P (A^{c})$

より、1つ目が成り立つ。

$A \subset B$ は、 $A \cap B = A$ を意味するから、このとき、

$P (B) = P ((A \cap B) ⊔ (B - A)) = P (A ⊔ (B - A)) = P (A) + P (B - A) \geq P (A)$

よって、2つ目が成り立つ。

$P (A \cup B) = P ((A - B) ⊔ (B - A) ⊔ (A \cap B)) = P (A - B) + P (B - A) + P (A \cap B)$

また、

$P (A) = P ((A - B) ⊔ (A \cap B)) = P (A - B) + P (A \cap B)$

$P (B) = P ((B - A) ⊔ (A \cap B)) = P (B - A) + P (A \cap B)$

より、

$P (A \cup B) = (P (A) - P (A \cap B)) + (P (B) - P (A \cap B)) + P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

したがって、3つ目が成り立つ。Q.E.D.