正多角形とその対角線によって作られる正多角形の相似比

命題

$n$を5以上の奇数とする。
正n角形の対角線をすべて引いたとき、内部に別の正n角形ができる。
元の正n角形と内部の正n角形の相似比$r$は、 $$ r = \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\cos{\theta}} $$ で与えられる。
ただし、ここで、$\theta = \frac{\pi}{n}$とした。

証明のスケッチ

正n角形の外接円の半径の比に注目する。
もとの外接円の半径を1として、内部にできた正n角形の外接円の半径$r$を求めれば良い。
そこで、内部の正n角形の頂点を作る、2本の対角線に注目する。

$$ n = 2k + 1 \ \ (k \geq 2) $$ とおき、元の正多角形の頂点を、 $$ P_0, P_1, …, P_k, P_{k + 1}, …, P_{2k}, P_{2k + 1} $$ とおく。
内部の正多角形の頂点を作るような対角線は、 (内部にできる正多角形の一辺となるような対角線のセットは、「中心との距離が最も短いような」対角線のセットである、という考察から、) $$ \overline{P_0P_k},\ \overline{P_1P_{k + 1}}, … $$ であることがわかる。

対称性から、対角線$\overline{P_0P_k}$, $\overline{P_1P_{k + 1}}$の交点$P’$について、$OP’$の長さを考えることにする。
中心$O$から、$\overline{P_0P_k}$に下ろした垂線の足を$H$とすると、 $$ \angle OP_0H = \frac{1}{2} (\pi - \angle P_0OP_k) = \frac{1}{2} (\pi - k \angle P_0OP_1) = \frac{1}{2} (\pi - k \frac{2\pi}{2k + 1}) = \frac{\pi}{2n}= \frac{\theta}{2} $$ であることから、 $$ OH = \sin{\frac{\theta}{2}} $$

また、$P’H$は内部の正多角形の一辺の半分であり、したがって、 $$ \angle HOP’ = \frac{1}{2} \frac{2 \pi}{n} = \frac{\pi}{n}= \theta $$

ゆえに、 $$ r = OP’ = \frac{OH}{\cos{\theta}} = \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\cos{\theta}} $$

補足

$$ r(n) = \frac{\sin{\frac{\pi}{2n}}}{\cos{\frac{\pi}{n}}} $$ は、$(2,\infty)$上の連続関数に拡張できて、グラフは以下のようになる。