標準正規分布に従う確率変数のコサインの期待値
命題
標準正規分布$N(0, 1)$に従う確率変数$X$について、$\cos{X}$の期待値は$\frac{1}{\sqrt{e}}$である。
証明のスケッチ1
$\cos{x} = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$の分解を用いたあと、指数の肩の部分を平方完成する。
複素積分が出るが、$-R, -R \pm i, R \pm i, R$の各点を結ぶ長方形の積分路を考える。
Cauchyの積分定理を使って、$R \to \infty$の極限を取ると、結局実軸上で積分するのと変わらないことがわかる。
証明のスケッチ2
$\cos{x}$のマクローリン展開を使って、項別積分を行う。
部分積分により、
$$
I_n := E[X^{2n}] = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}dx
$$
に対して、
$$
I_{n+1} = (2n + 1) I_n = (2n + 1)!! I_0 = (2n + 1)!!
$$
がわかるので、これを利用すると、$e^{x}$のマクローリン展開に$x = -\frac{1}{2}$を代入した形が出る。
補足
なお、$\sin{X}$の期待値は自明で$0$である。
これは、被積分関数が偶関数と奇関数の積になるから。