フーリエ変換のself-reciprocal functionの例

命題

関数

$$ f(t) = \frac{1}{\sqrt{|t|}} $$

はフーリエ変換のself-reciprocal functionである。

すなわち、フーリエ変換によって同じ関数に写される。

証明

まず、$f(t)$は偶関数であることに注意する。

次の補題を示しておく。

補題

$f(t)$が偶関数のとき、そのフーリエ変換は

$$ F(\omega) = 2 \int_{0}^{\infty}{f(t) \cos{(\omega t)} dt} $$

で与えられる。$F(\omega)$は偶関数である。

補題の証明

フーリエ変換の定義により、

$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-i \omega t} dt} = \int_{-\infty}^{0}{f(t) e^{-i \omega t} dt} + \int_{0}^{\infty}{f(t) e^{-i \omega t} dt} $$

右辺の第1項の積分について、$s = -t$で変数変換すると、

$$ \int_{-\infty}^{0}{f(t) e^{-i \omega t} dt} = \int_{\infty}^{0}{f(-s) e^{-i \omega (-s)} (-ds)} = \int_{0}^{\infty}{f(s) e^{i \omega s} ds} = \int_{0}^{\infty}{f(t) e^{i \omega t} dt} $$

よって、

$$ F(\omega) = \int_{0}^{\infty}{f(t) e^{i \omega t} dt} + \int_{0}^{\infty}{f(t) e^{-i \omega t} dt} = \int_{0}^{\infty}{f(t) (e^{i \omega t} + e^{-i \omega t}) dt} = \int_{0}^{\infty}{f(t) (2 \cos{(\omega t)}) dt} = 2 \int_{0}^{\infty}{f(t) \cos{(\omega t)} dt} $$

である。また、この式を使うと、

$$ F(-\omega) = 2 \int_{0}^{\infty}{f(t) \cos{(-\omega t)} dt} = 2 \int_{0}^{\infty}{f(t) \cos{(\omega t)} dt} = F(\omega) $$

となり、$F(\omega)$は偶関数であることがわかる。

本題の証明

$f(t)$は偶関数なので、補題をそのまま使用できる。

$F(\omega)$も偶関数となるので、$\omega > 0$の範囲でまずは考える。

$$ F(\omega) = 2 \int_{0}^{\infty}{f(t) \cos{(\omega t)} dt} = 2 \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{|t|}} \cos{(\omega t)} dt} = 2 \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{t}} \cos{(\omega t)} dt} $$

$t = s^2$で置換積分を行うと、

$$ F(\omega) = 2 \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{s^2}} \cos{(\omega s^2)} (2s ds)} = 4 \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{s} \cos{(\omega s^2)} s ds} = 4 \int_{0}^{\infty}{\cos{(\omega s^2)} ds} $$

$u = \sqrt{\omega}s$で置換積分を行うと、

$$ F(\omega) = 4 \int_{0}^{\infty}{\cos{(u^2)} (\frac{1}{\sqrt{\omega}}du)} = \frac{4}{\sqrt{\omega}} \int_{0}^{\infty}{\cos{(u^2)}du} $$

右辺はフレネル積分である。結局、

$$ F(\omega) = \frac{4}{\sqrt{\omega}} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\frac{2 \pi}{\omega}} $$

である。 $\omega < 0$の範囲も考えると、

$$ F(\omega) = \sqrt{\frac{2 \pi}{|\omega|}} $$

となる。これは$\sqrt{2 \pi}$の定数倍を除いて、$f(t)$と同じである。

もちろん、フーリエ変換の複数の定義のうち、フーリエ変換がユニタリ変換となるような定義を用いておけば、これは全く同じになる。

したがって、

$$ f(t) = \frac{1}{\sqrt{|t|}} $$

は、フーリエ変換のself-reciprocal functionの一例である。

補足

フーリエ変換の結果同じ関数になるものとしては、ガウス関数

$$ f(t) = \exp{[-\frac{t^2}{2}]} $$

が有名である(正規分布の確率密度関数(ガウス関数)のフーリエ変換)が、他にもそういった関数は多数あり、本題はその一例である。